Distribution Lab — Bayes Thinking Lab

Cheat Sheet — Symbole & Parameter

1. Wie heißen die Symbole?

2. Parameter je Verteilung

Die letzte Spalte zeigt, wie dieselbe Verteilung in brms parametrisiert wird (in Klammern: Link-Funktion des jeweiligen Parameters). Fett markiert, wo brms von der Schreibweise in den Spalten davor abweicht.

Kontinuierlich unbegrenzt

Verteilung	Schreibweise	Bedeutung der Parameter	In brms
Cauchy	Cauchy(μ, σ)	μ: Lageparameter; entspricht Median und Modus. Ein Mittelwert existiert bei Cauchy nicht. σ: Skalenparameter (Breite) — keine Standardabweichung; auch die Varianz ist nicht definiert.	Keine eigene Familie. Likelihood: `student()` mit festem ν = 1 (`prior(constant(1), class = nu)`). Als Prior: `cauchy(μ, σ)`.
Student-t	Student-t(ν, μ, σ)	ν (Nu): Freiheitsgrade; kleine ν → schwerere Tails, große ν → Annäherung an Normal. μ: Lageparameter; bei ν > 1 auch der Mittelwert. σ: Skalenparameter, nicht generell die tatsächliche SD. Für ν > 2 gilt SD = σ·√(ν/(ν−2)).	`student()` — μ (Link: identity), σ = `sigma`, ν = `nu`. Gleiche Parametrisierung wie hier; σ und ν lassen sich auch per Formel modellieren, z. B. `sigma ~ gruppe`.
Normal	Normal(μ, σ)	μ: Mittelwert / Lage. σ: Standardabweichung.	`gaussian()` — μ (identity), σ = `sigma`. Identisch zur Schreibweise hier.
Skew-Normal	Skew-Normal(ξ, ω, α)	ξ (Xi): Lageparameter. ω (Omega): Skalenparameter (> 0). α: Shape-/Schiefeparameter; α = 0 ergibt die Normalverteilung. ξ und ω sind bei Schiefe nicht einfach identisch mit Mittelwert und SD.	`skew_normal()` — μ ist der tatsächliche Mittelwert, σ die tatsächliche SD (nicht ξ und ω), α = `alpha`. Umrechnung: ω = σ/√(1 − 2δ²/π) mit δ = α/√(1+α²), ξ = μ − ω·δ·√(2/π).

Kontinuierlich positiv

Verteilung	Schreibweise	Bedeutung der Parameter	In brms
Gamma	Gamma(α, β)	α: Shape-Parameter; bestimmt die Form der Verteilung. β: Rate-Parameter in der hier gezeigten klassischen Shape-Rate-Parametrisierung. Mittelwert = α/β. Achtung: β wird anderswo auch als Scale verwendet.	`Gamma(link = "log")` — μ = Mittelwert (Link: log), α = `shape`. Die Rate ist β = shape/μ. (Der brms-Standardlink wäre inverse; log ist gebräuchlicher.)
Exponential	Exponential(λ)	λ (Lambda): Rate/Ereignisrate. Mittelwert der Wartezeit = 1/λ. In brms wird die Likelihood häufig über den Mittelwert μ parametrisiert — das ist eine andere Schreibweise.	`exponential(link = "log")` — μ = Mittelwert = 1/λ (Link: log). Kein weiterer Parameter.
ExGaussian	ExGauss(μ, σ, β)	μ: Mittelwert der Normal-Komponente. σ: SD der Normal-Komponente. β: Mittelwert/Scale der Exponential-Komponente; deren Rate ist 1/β. Gesamtmittelwert: E[Y] = μ + β.	`exgaussian()` — μ = Gesamtmittelwert E[Y] (identity), σ = `sigma`, β = `beta`. Die Normalkomponente hat den Mittelwert μ_brms − β, d. h. μ_hier = μ_brms − β.
Log-Normal	Lognormal(μ, σ)	μ: Mittelwert von log(Y), nicht der Mittelwert von Y auf Originalskala. σ: SD von log(Y), nicht die SD von Y auf Originalskala.	`lognormal()` — μ = Mittelwert von log(Y) (identity), σ = `sigma` (SD von log(Y)). Identisch zur Schreibweise hier.
Shifted LogNormal	ShiftedLogNormal(μ, σ, δ)	μ: Mittelwert der Log-Werte des unverschobenen positiven Anteils. σ: SD der Log-Werte. δ (Delta, klein): additiver Shift / untere Grenze; verschiebt die Verteilung nach rechts. Nicht zu verwechseln mit Δ (groß) bei den Ordinalmodellen unten.	`shifted_lognormal()` — μ und σ wie bei Log-Normal, δ = `ndt` (Non-Decision-Time; muss kleiner als min(Y) sein).
Chi²	χ²(k)	k: Freiheitsgrade. Eine χ²-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Gamma-Verteilung: Gamma(shape = k/2, rate = 1/2).	Keine brms-Familie. Spezialfall von Gamma: shape = k/2, rate = 1/2. Als Prior selten: `chi_square(k)`.
F-Verteilung	F(d₁, d₂)	d₁: Freiheitsgrade im Zähler. d₂: Freiheitsgrade im Nenner. Die F-Verteilung entsteht aus dem Verhältnis zweier passend skalierter Chi²-Variablen.	Keine brms-Familie. In Bayes-Analysen ersetzt durch Modellvergleich, z. B. mit `loo()`.
Weibull	Weibull(k, λ)	k: Shape-Parameter; steuert Form und Verlauf der Hazard-Funktion. λ (Lambda): Scale-Parameter. Bei k = 1 entsteht eine Exponentialverteilung; wenn dort λ als Rate geschrieben wird, gilt Rate = 1/λ (Weibull-Scale).	`weibull()` — μ = Mittelwert (Link: log), k = `shape`. Die Scale ist λ = μ/Γ(1 + 1/k).
Inverse Gauß	InvGauss(μ, λ)	μ: Mittelwert (> 0). λ (Lambda): Shape-/Präzisionsparameter; größere λ → geringere relative Streuung. Varianz = μ³/λ.	`inverse.gaussian()` — μ (Link: `1/mu^2`, alternativ log), λ = `shape`.
Hurdle-Gamma	HurdleGamma(μ, φ, hu)	μ: Mittelwert der Gamma-Komponente für Y > 0. φ (Phi): Shape/Präzision; Var = μ²/φ. hu: Wahrscheinlichkeit der Hürde, P(Y = 0).	`hurdle_gamma()` — μ (Link: log), φ = `shape` (log), `hu` (logit; per Formel modellierbar, z. B. `hu ~ x2`).
Hurdle-Lognormal	HurdleLogNormal(μ, σ, hu)	μ: Mittelwert von log(Y) für Y > 0. σ: SD von log(Y). hu: Wahrscheinlichkeit der Hürde, P(Y = 0).	`hurdle_lognormal()` — μ (identity), σ = `sigma` (log), `hu` (logit).

Begrenzt

Verteilung	Schreibweise	Bedeutung der Parameter	In brms
Beta	Beta(α, β)	α, β: zwei positive Shape-Parameter. Gemeinsam bestimmen sie Lage und Form. Mittelwert = α/(α+β). Beta(1,1) = Uniform(0,1).	`Beta()` — μ (Link: logit), φ = `phi` (log). Umrechnung: α = μ·φ, β = (1−μ)·φ.
ZI-Beta	ZI-Beta(μ, φ, zi)	μ: Mittelwert des kontinuierlichen Beta-Anteils (zwischen 0 und 1). φ (Phi): Präzision/Konzentration des Beta-Anteils; größer φ → stärkere Bündelung um μ. zi: Wahrscheinlichkeit einer zusätzlichen Punktmasse bei 0 (Zero Inflation).	`zero_inflated_beta()` — μ (logit), φ = `phi` (log), `zi` (logit; per Formel modellierbar).
ZOIB	ZOIB(μ, φ, zoi, coi)	μ: Mittelwert des kontinuierlichen Beta-Anteils. φ: Präzision des Beta-Anteils. zoi: Gesamtwahrscheinlichkeit für eine zusätzliche 0-oder-1-Punktmasse. coi: bedingte Wahrscheinlichkeit für 1 innerhalb dieser 0/1-Punktmasse. Damit: P(0) = zoi·(1−coi), P(1) = zoi·coi.	`zero_one_inflated_beta()` — μ (logit), φ = `phi` (log), `zoi` und `coi` (beide logit; per Formel modellierbar).
Bernoulli	Bernoulli(p)	p: Erfolgswahrscheinlichkeit P(Y=1). Y kann nur 0 oder 1 annehmen. Beta ist der konjugierte Prior für p.	`bernoulli()` — p = μ, Link: logit: p = 1/(1+e^−Xβ).
LKJ (Verteilung über Korrelationsmatrizen, nicht über [0,1])	LKJ(η)	η (Eta): einziger Parameter, Konzentration um die Identitätsmatrix. η=1: uniform über alle Korrelationsmatrizen. η>1: reguliert Richtung ρ=0. Gezeigt wird die Randverteilung einer einzelnen Korrelation ρ ∈ (−1,1) im 2×2-Fall.	Nie Likelihood, nur Prior: `prior(lkj(2), class = cor)`, wobei η das Argument von `lkj()` ist.

Zähldaten (diskret)

Verteilung	Schreibweise	Bedeutung der Parameter	In brms
Beta-Binomial	BetaBin(n, μ, φ)	n: Anzahl der Versuche. μ: mittlere Erfolgswahrscheinlichkeit. φ: Präzision/Konzentration der zugrunde liegenden Beta-Verteilung; kleiner φ → mehr Heterogenität/Überdispersion, φ → ∞ → Binomial.	`beta_binomial()` mit `k \| trials(n) ~ …` — μ (Link: logit), φ = `phi` (log). Umrechnung: α = μ·φ, β = (1−μ)·φ.
Binomial	Binomial(n, p)	n: Anzahl unabhängiger Versuche. p: Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch.	`binomial()` mit `k \| trials(n) ~ …` — p (Link: logit).
Poisson	Poisson(λ)	λ (Lambda): erwartete Ereigniszahl / Rate im betrachteten Intervall. Bei der Poisson-Verteilung gilt E[Y] = Var(Y) = λ.	`poisson()` — λ = exp(Xβ) (Link: log).
Neg. Binomial	NegBin(μ, shape)	μ: erwartete Ereigniszahl. shape: Dispersions-/Shape-Parameter. Größerer shape → weniger zusätzliche Streuung; shape → ∞ → Poisson. In dieser Parametrisierung: Var(Y) = μ + μ²/shape.	`negbinomial()` — μ (Link: log), `shape` (log). Heißt in brms `shape`, nicht φ; Var(Y) = μ + μ²/shape. Gleiche Parametrisierung wie hier.
ZI-Poisson	ZIPoisson(λ, zi)	λ: Rate der Poisson-Komponente. zi: Wahrscheinlichkeit einer zusätzlichen strukturellen Null.	`zero_inflated_poisson()` — λ = μ (Link: log), `zi` (logit).
ZI-NegBinomial	ZINegBin(μ, φ, zi)	μ: Mittelwert der NegBin-Komponente. φ: Überdispersion (shape). zi: Wahrscheinlichkeit einer zusätzlichen strukturellen Null.	`zero_inflated_negbinomial()` — μ (log), φ = `shape` (log), `zi` (logit).
ZI-Binomial	ZIBinomial(n, p, zi)	n: Anzahl der Versuche. p: Erfolgswahrscheinlichkeit. zi: Wahrscheinlichkeit einer zusätzlichen strukturellen Null.	`zero_inflated_binomial()` mit `trials(n)` — p = μ (logit), `zi` (logit).
Hurdle-Poisson	HurdlePoisson(λ, hu)	λ: Rate der ungestutzten Poisson-Basisverteilung. hu: Wahrscheinlichkeit der Hürde, P(Y = 0); positive Werte folgen der bei 0 gestutzten Poisson.	`hurdle_poisson()` — λ = μ (Link: log), `hu` (logit). Achtung: E[Y] = (1−hu)·μ/(1−e^−μ).
Hurdle-NegBinomial	HurdleNegBin(μ, φ, hu)	μ: Mittelwert der ungestutzten NegBin-Basisverteilung. φ: Überdispersion (shape). hu: Wahrscheinlichkeit der Hürde, P(Y = 0).	`hurdle_negbinomial()` — μ (log), φ = `shape` (log), `hu` (logit).

Geordnete Kategorien (ordinal)

Modell	Schreibweise	Bedeutung der Parameter	In brms
Kumulatives Probit	OrderedProbit(η, τ, Δ, K)	η (Eta): linearer Prädiktor / Position auf der latenten kontinuierlichen Skala. τ (Tau): geordnete Schwellenwerte (Cutpoints), die die Kategorien trennen. Δ (Delta, groß): Abstand zwischen den Schwellenwerten (hier gleichmäßig angenommen, nur zur Illustration). Nicht zu verwechseln mit δ (klein) bei Shifted LogNormal oben. K: Anzahl der ordinalen Kategorien. Probit nutzt die Normal-CDF als Link.	`cumulative("probit")` — η = Formelterm ohne Intercept. Die K−1 Schwellen werden einzeln geschätzt (`Intercept[1]`, `Intercept[2]`, …), nicht über ein gemeinsames Δ. `disc` ist auf 1 fixiert.
Kumulatives Logit	OrderedLogit(η, τ, Δ, K)	η: linearer Prädiktor / Position auf der latenten Skala. τ: geordnete Schwellenwerte. Δ: Abstand zwischen den Schwellenwerten (hier gleichmäßig angenommen, nur zur Illustration). K: Anzahl der Kategorien. Logit nutzt die logistische CDF als Link.	`cumulative("logit")` — η = Formelterm ohne Intercept. Die K−1 Schwellen werden einzeln geschätzt (`Intercept[1]`, …), nicht über ein gemeinsames Δ. `disc` ist auf 1 fixiert.

3. Was bedeuten die Pfeile und Zusatzzeichen?

Zeichen / Beschriftung	Bedeutung in der Grafik
ν = 1	Student-t mit einem Freiheitsgrad ist die Cauchy-Verteilung.
ν → ∞	Mit sehr großen Freiheitsgraden nähert sich Student-t der Normalverteilung.
α = 0	Bei Skew-Normal verschwindet die Schiefe; es bleibt die Normalverteilung.
α = 1	Gamma mit Shape α = 1 wird zur Exponentialverteilung (bei passender Rate-Parametrisierung).
k = 1	Weibull wird zur Exponentialverteilung. Bei Scale-vs.-Rate muss die Parameterumrechnung beachtet werden.
σ → 0	Bei ExGaussian verschwindet die Normal-Streuung; übrig bleibt im Grenzfall ein verschobener Exponentialanteil. Nur bei μ = 0 entspricht das direkt einer unverschobenen Exponentialverteilung.
Y = exp(X)	Exponentiert man eine normalverteilte Variable X, erhält man eine Log-Normal-Verteilung für Y.
+ δ (Shift)	Ein additiver Shift δ verschiebt eine Log-Normal-Verteilung und erzeugt eine Shifted LogNormal.
⊕	Faltung: Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen. Normal ⊕ Exponential = ExGaussian.
p ~ Beta	Die Erfolgswahrscheinlichkeit p erhält eine Beta-Verteilung; daraus entsteht die Beta-Binomial-Mischung.
φ → ∞	Beim Beta-Binomial verschwindet die zusätzliche Heterogenität; Grenzfall ist Binomial.
n = 1	Binomial mit genau einem Versuch ist Bernoulli.
n → ∞, p → 0	Poisson-Grenzfall der Binomialverteilung, sofern np = λ endlich/konstant bleibt.
shape → ∞	Negative Binomial nähert sich der Poisson-Verteilung an.
+ 0 (zi)	Zur Beta-Verteilung wird eine zusätzliche Punktmasse bei 0 ergänzt (Zero Inflation).
+ 1 / Zero-One-Inflation	Zusätzlich können Punktmassen bei 0 und 1 modelliert werden; bei ZOIB steuern zoi und coi deren Gesamt- bzw. Aufteilung.
χ² ∕ χ²	Die F-Verteilung lässt sich als Verhältnis zweier durch ihre Freiheitsgrade skalierter Chi²-Variablen konstruieren.
→	Grenzwert oder Spezialfall (je nach Beschriftung am Pfeil).
farbig gestrichelter Pfeil	„Konstruiert aus" — die Zielverteilung entsteht durch eine Operation (Faltung, Shift, Mixtur) auf der Quellverteilung, innerhalb derselben Gruppe.
grau gepunkteter Pfeil	Gruppenübergreifende Verwandtschaft — eine Beziehung zwischen zwei verschiedenen Verteilungsgruppen, kein Spezialfall im engeren Sinn. Bewusst gepunktet statt gestrichelt, damit die Verwechslung mit „konstruiert aus" ausgeschlossen ist.
∞	Unendlich; z.B. „ν → ∞" bedeutet: ν wird immer größer.
~	„ist verteilt wie" / „folgt der Verteilung", z.B. p ~ Beta.
≈	ungefähr / näherungsweise gleich.

Quelle (Grafik & Grundstruktur): Ben Lambert, A Student's Guide to Bayesian Statistics (2018), S. 225.

Hilfe — Distribution Lab

Überblick

Distribution Lab zeigt Wahrscheinlichkeitsverteilungen interaktiv — als Vorbereitung auf GLMs und bayesianische Modelle in brms. Welche Verteilung passt zu welchen Daten? Für jede Verteilung: Beschreibung, Einsatzszenarien, Parameter-Erklärung, brms-Verwendung und Technische Details.

Navigation

Kategorie-Tabs (oben) wählen die Verteilungsgruppe.
Verteilungs-Buttons darunter wählen die konkrete Verteilung.
Schieberegler links passen die Parameter in Echtzeit an.

Momente

Mittelwert (blau), Median (grün), Modus (orange) als vertikale gestrichelte Linien. Jedes Moment unabhängig ein-/ausschaltbar.

Warum zwei Parametrisierungen?

Das ist der häufigste Stolperstein — und er hat einen guten Grund.

Für ein und dieselbe Verteilung existieren in der Statistik mehrere gleichwertige Schreibweisen. Die Gamma-Verteilung etwa lässt sich über (shape, rate), über (shape, scale) oder über (Mittelwert, shape) beschreiben — dieselbe Verteilung, nur andere „Stellschrauben". Welche man wählt, ist reine Konvention.

Paul Bürkner, der Autor von brms, ist hier bewusst einen anderen Weg gegangen als die meisten: Er hat sich gefragt, was Anwenderinnen und Anwender in einem Regressionsmodell eigentlich vorhersagen wollen — und die Antwort ist fast immer der Mittelwert. Deshalb hat er alle Verteilungen, die als Likelihood in Frage kommen, so parametrisiert, dass das Ziel der Regression immer μ ist. Egal ob Gamma, Beta, Weibull oder Negative Binomial: y ~ x sagt stets den Mittelwert vorher. Das ist eine nachvollziehbare, anwenderfreundliche Vereinheitlichung — man muss nicht für jede Verteilungsfamilie neu lernen, was der erste Parameter bedeutet.

Weil diese μ-Parametrisierung für die Arbeit mit brms zentral ist, ist sie hier im Tool die Standardeinstellung. Zum Vergleich lässt sich über den Umschalter zusätzlich die klassische Lehrbuch-Notation einblenden — die begegnet einem in Lehrbüchern, in der R-Basis (dgamma, dnbinom) und in Publikationen.

Und wo nutzt brms die klassische Notation? Immer genau dann, wenn die Verteilung keine Likelihood ist, sondern eine andere Rolle spielt — insbesondere als Prior. In prior(gamma(2, 0.1), ...) sind die beiden Zahlen shape und rate, nicht μ und φ. Das ist in sich konsequent (ein Prior sagt ja keinen Mittelwert vorher, sondern beschreibt direkt die Verteilung eines Parameters), kann aber verwirren — besonders bei Verteilungen wie Skew-Normal, wo beide Notationen unter demselben Funktionsnamen auftauchen.

Die Farbcodierung hilft beim Auseinanderhalten: Im Abschnitt „Was bedeuten die Parameter?" steht die türkise Box 1 immer für die brms-/Likelihood-Parametrisierung, die weinrote Box 2 für die klassische Notation bzw. die Prior-Verwendung. Dieselben Farben hat der Umschalter in der Seitenleiste.

Der Abschnitt "Verwendung in brms" zeigt dann für jede Verteilung konkret beide Rollen: als Likelihood (family-Syntax, Link) und als Prior (prior()-Syntax) — inkl. typischer Parametrisierungen.

Gemischte Verteilungen

ZI-Beta und ZOIB: Punktmassen bei 0/1 als rote Balken, Beta-Anteil als Kurve. Hurdle-Gamma und Hurdle-Lognormal: Punktmasse bei 0 als roter Balken, positiver Anteil als Kurve auf (0, ∞) statt auf [0,1].

Diskrete Verteilungen

Balkendiagramm der PMF. Modus = höchster Balken.

X-Achse fixieren

X fixiert / X frei-Button (über dem Diagramm): Friert die X-Achse ein, damit man bei Parameteränderungen (z.B. μ oder σ) die Formänderung direkt sieht — statt dass sich die Achse mitskaliert. Standardmäßig aktiv, und die Ein/Aus-Einstellung gilt global über alle Verteilungen hinweg. Der eingefrorene Achsenbereich selbst wird dabei aber pro Verteilung gemerkt, nicht geteilt — kontinuierlich unbegrenzte und kontinuierlich begrenzte Verteilungen bekommen also weiterhin ihre jeweils passende Achse. Ebenso merkt sich das Tool pro Verteilung die zuletzt eingestellten Parameterwerte, sodass man zwischen Verteilungen hin- und herspringen kann, ohne die eigene Einstellung zu verlieren — bis zum nächsten Neuladen der Seite, danach gilt wieder alles auf Standard. Für diskrete, gemischte und ordinale Verteilungen ist der Button deaktiviert (nicht sinnvoll).

Verteilungsbeziehungen

⊞ Beziehungen-Button öffnet eine große Übersichtskarte mit allen Verteilungen des Distribution Lab und ihren Zusammenhängen: Spezialfälle, Grenzwerte, Konstruktionen. Orientierung im "Verteilungs-Zoo". Darin klappt 📖 Symbole eine Kurzreferenz der griechischen Buchstaben auf.

Cheat Sheet

📋 Cheat Sheet-Button öffnet eine vollständige Referenz: alle Symbole (Name, Aussprache, Merke), die Parameterbedeutung jeder Verteilung gruppiert nach Kategorie, und die Pfeil-/Zusatzzeichen der Beziehungskarte — zum Nachschlagen, ohne eine einzelne Verteilung erst auswählen zu müssen.