GLM – Bedingte Verteilungen & Regressionskoeffizienten

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ANSICHT 1 — VERTEILUNG

P(Y | x = 0)

η = – → λ = –

ANSICHT 2 — REGRESSION

E[Y|x] als Funktion von x

x	η = β₀ + β₁·x	Parameter	E[Y\|x]

ℹ GLM Bedingte Verteilungen — Hilfe

Was lerne ich hier?

Das Kernprinzip des GLMs: Für jeden x-Wert entsteht eine eigene bedingte Verteilung P(Y|x). Der lineare Prädiktor η = β₀ + β₁·x wird über die Linkfunktion in den Verteilungsparameter transformiert — und dieser bestimmt Form und Lage der Verteilung.

Der lineare Prädiktor η

η = β₀ + β₁·x kann jeden Wert annehmen. Die Linkfunktion transformiert ihn in den zulässigen Parameterbereich:

Log-Link: λ = e^η — immer positiv (Poisson, Gamma)
Logit-Link: p = 1/(1+e^−η) — immer in (0,1) (Bernoulli, Binomial)
Identität: μ = η — das klassische LM (Normal)

Die drei Ansichten

Single: bedingte Verteilung für den gewählten x-Wert
Ghost: alle x-Werte überlagert — Formveränderung sichtbar
Ridgeline: alle Verteilungen gestapelt — Gesamtbild auf einen Blick

GLM-Familien im Überblick

Normal (OLS): stetige Daten, unbegrenzt · σ konstant
Poisson / Neg. Binomial: Zähldaten (0,1,2,…); NB bei Overdispersion
Bernoulli / Binomial: 0/1-Daten bzw. k Erfolge aus n Versuchen
Gamma: positive stetige Daten, rechtsschief
ZIP / Hurdle-Poisson: Zähldaten mit vielen Nullen — zwei Prozesse kombiniert

Reflexionsfragen

Am unteren Rand erscheinen Reflexionsfragen, die das Verständnis vertiefen — z.B. warum Varianz und Mittelwert bei Poisson identisch sind oder wann man Neg. Binomial statt Poisson wählt.

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Koeffizienten