Decision Lab
HDI · ETI · ROPE — Vom Posterior zur Entscheidung · bayestestR · Kruschke · McElreath
© Dr. Rainer Düsing · Interactive Tools by Claude
Drei Entscheidungsregeln für denselben Posterior — HDI, ETI und ROPE — direkt vergleichbar, ganz ohne eigene Daten.

Posterior-Verteilung

Mittelwert μ105
Streuung σ8

ROPE

ROPE untere Grenze97
ROPE obere Grenze113
ROPE = Region praktischer Äquivalenz. Idealerweise inhaltlich bestimmt (kleinster Effekt von Bedeutung). Ohne Vorwissen: ±0.1·SD(y) nach Kruschke.

Intervall-Breite

95% — Kruschkes Standard

ROPE-Entscheidung

100% — Full ROPE: gesamte Posteriormasse (rope_ci = 1 in bayestestR)

Intervall-Typ

HDI = kürzestes Intervall mit X% der Masse. Bei Normalverteilung identisch mit ETI.

pd-Referenzwert

Referenzwert für pd (Standard: 0). Z.B. 1 für Odds Ratios oder 100 für IQ-Skala.
Posterior-Verteilung · ROPE · Intervalle
Posterior Median HDI ROPE
Wertebereich
Min 50
Max 160
Default: IQ-Skala.
Bei Gamma: ab 0.
Ansatz A — Kruschke
HDI vs. ROPE
—
—
Trichotome Entscheidung: HDI außerhalb, innerhalb oder überschneidend ROPE.
Ansatz B — Full ROPE
% im ROPE
—
—
Graduell: Anteil der Posteriormasse im ROPE. <2.5% = Effekt, >97.5% = Äquivalenz (Makowski et al. 2019).
Ansatz C — ETI
ETI vs. ROPE
—
—
Invariant unter Transformationen. Bei Normalverteilung = HDI. Zeigt Unterschiede bei schiefen Posteriors.
Kennwert D — bayestestR
Probability of Direction
—
—
Anteil der Posteriormasse in der wahrscheinlicheren Richtung. pd ≥ 97.5% ≈ p ≤ .05 (zweiseitig).
Erläuterungen & Hintergrund▶

HDI (Highest Density Interval) — Das kürzeste Intervall, das X% der Posteriormasse enthält. Die entscheidende Eigenschaft: kein Wert außerhalb des HDI hat eine höhere Dichte als irgendein Wert innerhalb. Das bedeutet: das HDI enthält genau die „plausibelsten" Parameterwerte — jene, die am stärksten vom Posterior gestützt werden. Dichte ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, sodass ein Wert mit höherer Dichte glaubwürdiger ist als einer mit niedrigerer. Bei einer unimodalen Verteilung ist das HDI stets ein zusammenhängendes Intervall um den Modus (dichtester Punkt). Bei symmetrischen Posteriors (Normal, t) ist HDI = ETI.

ETI (Equal-Tailed Interval) — Schneidet gleich viel Wahrscheinlichkeitsmasse von beiden Rändern ab (bei 95%: je 2.5%). Das ETI entspricht dem, was frequentistische Konfidenzintervalle nachbilden. Wichtige Eigenschaft: invariant unter monotonen Transformationen. Wenn du einen Parameter transformierst (z.B. log(σ) statt σ), gibt das ETI auf der Originalskala dieselbe Entscheidung wie auf der transformierten. Das HDI kann dagegen je nach Parametrisierung zu verschiedenen Entscheidungen führen (HDI auf log-Skala ≠ exp(HDI auf log-Skala)). Für Normal- und t-Verteilung gilt: HDI = ETI, da beide Verteilungen symmetrisch sind. Unterschiede entstehen nur bei schiefen Posteriors (hier: Gamma).

Kruschkes Entscheidungsregel (Ansatz A) — Trichotom mit dem gewählten Intervall (HDI oder ETI): Intervall vollständig außerhalb ROPE → Effekt als real akzeptieren Intervall vollständig innerhalb ROPE → praktische Äquivalenz akzeptieren Intervall überlappt ROPE → Urteil zurückhalten (withhold)

Full-ROPE-Ansatz (Ansatz B, bayestestR) — Berechnet den Anteil der gesamten Posteriormasse, der im ROPE liegt. Das ist eine graduelle, kontinuierliche Aussage: „37% der Posteriormasse liegt im ROPE." Entscheidungsregel nach Makowski et al. (2019): <2.5% = Effekt (kein nennenswerter Anteil im ROPE); >97.5% = praktische Äquivalenz; dazwischen = unentschieden.

ROPE festlegen: SESOI — Die ROPE sollte immer inhaltlich bestimmt werden. Der Schlüsselbegriff ist SESOI (Smallest Effect Size Of Interest): Welcher Effekt wäre so klein, dass er für deine Fragestellung keine praktische Bedeutung mehr hat? Das ist eine wissenschaftliche, keine statistische Frage. Beispiel Therapiestudie: Ein IQ-Gewinn von weniger als 3 Punkten ist in der Praxis nicht unterscheidbar — also ROPE = [−3, +3]. Methoden zur SESOI-Bestimmung: (1) Pilotdaten / Erfahrungswerte, (2) Standardisierte Effektgröße (z.B. d=0.2 als „kleiner Effekt"), (3) Was Kliniker als minimalen klinisch bedeutsamen Unterschied (MCID) angeben. Lakens et al. (2018) geben eine ausführliche Einführung: Lakens, D., Scheel, A. M., & Isager, P. M. (2018). Equivalence testing for psychological research: A tutorial. Advances in Methods and Practices in Psychological Science, 1(2), 259–301. — Ohne jedes Vorwissen: Kruschke schlägt ±0.1·SD(y) vor.

Intervallbreite 89% vs. 95% — McElreath bevorzugt 89%, weil es kein Sonderrecht für die Zahl 95 gibt — diese Konvention kommt aus der frequentistischen Welt. 89 ist die größte Primzahl unter 90. Das 95%-Intervall ist weit verbreitet und erleichtert die Kommunikation. Wähle bewusst und rechtfertige die Wahl.

R-Code (bayestestR)▶

Installiere bayestestR: install.packages("bayestestR")

library(bayestestR) # Posterior-Samples erzeugen (hier: Normalverteilung) posterior <- rnorm(10000, mean = 105, sd = 8) # HDI berechnen hdi(posterior, ci = 0.95) # ETI berechnen eti(posterior, ci = 0.95) # ROPE-Analyse rope(posterior, range = c(97, 113), ci = 0.95) # Vollständige Entscheidung p_direction(posterior) equivalence_test(posterior, range = c(97, 113), ci = 0.95)
ℹ Decision Lab — Hilfe
Was lerne ich hier?
Ein Posterior allein trifft keine Entscheidung — dafür braucht es einen Entscheidungsrahmen. Dieses Tool zeigt drei komplementäre Ansätze: HDI beschreibt, wo die plausibelsten Werte liegen; ETI liefert symmetrische Quantilgrenzen; ROPE prüft, ob ein Effekt praktisch bedeutsam ist. Alle drei stammen aus dem bayesianischen Werkzeugkasten (Kruschke, McElreath) und sind in bayestestR implementiert.
Empfohlene Erkundung
HDI — genauer erklärt
Stell dir den Posterior als Gebirge vor. Für das HDI ziehst du eine waagerechte Schnittlinie und senkst sie so lange ab, bis genau 95 % der Masse oberhalb der Linie liegen. Der Bereich, in dem das Gebirge über der Linie liegt, ist das HDI. Daraus folgen drei Eigenschaften:
1. Dichtekriterium: Jeder Wert im HDI hat eine höhere Dichte als jeder Wert außerhalb. Das HDI enthält also immer die „plausibelsten" Werte — und stets den Modus.
2. Kürzestes Intervall: Kein anderes Intervall mit derselben Masse ist kürzer.
3. Nicht transformationsinvariant: Das HDI eines Parameters auf der log-Skala, zurücktransformiert mit exp(), ist nicht das HDI auf der Originalskala — denn beim Transformieren ändert sich die Dichte (Jacobi-Term), nicht aber die Masse.
Bei mehrgipfligen Posteriors kann das HDI aus mehreren getrennten Teilintervallen bestehen. Aus MCMC-Draws wird es als kürzestes Fenster berechnet, das den gewünschten Anteil der Draws enthält — an den Rändern ist es daher etwas rauschanfälliger als ein Quantil.
ETI — genauer erklärt
Das ETI schneidet an beiden Enden gleich viel Masse ab — bei 95 % also je 2,5 %. Seine Grenzen sind schlicht das 2,5 %- und das 97,5 %-Quantil:
1. Einfach und stabil: Quantile lassen sich aus Draws zuverlässig schätzen. Die Zusammenfassung in brms (summary()) zeigt solche quantilbasierten Intervalle.
2. Transformationsinvariant: Das Quantil von exp(θ) ist exp(Quantil von θ). Ob du auf der log-Skala oder auf der Originalskala rechnest — das ETI liefert dieselbe Aussage.
3. Immer zusammenhängend — aber nicht immer das plausibelste: Bei schiefen Verteilungen schließt es auf der langen Seite Werte ein, die weniger dicht sind als Werte, die es auf der kurzen Seite ausschließt.
Wann unterscheiden sie sich?
Symmetrisch (Normal, t): HDI = ETI — die Wahl ist egal.
Schief (Gamma): Das ETI ist länger und zur langen Seite hin verschoben; das HDI ist kürzer und folgt dem Gipfel. Probiere es aus: Wähle Gamma, verkleinere die Shape α — die Schiefe wächst, und die beiden Intervalle (rote und blaue Linien) laufen auseinander. Stell dann die ROPE-Grenze so, dass sie zwischen beiden Rändern liegt: Die Entscheidung kann kippen.
Mehrgipflig (hier nicht einstellbar, aber z. B. in Stufe 2 des MCMC Visualizers): Das HDI zerfällt in Teile, das ETI überdeckt auch das Tal dazwischen.
HDI oder ETI — was nehmen?
HDI, wenn du wissen willst, wo die plausibelsten Werte liegen — vor allem bei schiefen Posteriors.
ETI, wenn du Ergebnisse transformieren (z. B. Odds Ratio = exp(b)) oder mit quantilbasierten Standardausgaben vergleichen willst.
Wichtig ist, den Intervalltyp und die Breite anzugeben — und die Regel vorab festzulegen. Entscheiden beide Intervalle unterschiedlich, ist das selbst eine Information: Der Befund hängt dann von der Wahl ab, und das gehört in den Bericht. Details zur Umsetzung in R: bayestestR (hdi(), eti(), rope()); Grundlagen zum Credible Interval und zur ROPE (Wahl über SESOI) im Glossar; die Richtungssicherheit liefert die Probability of Direction.
Die drei Entscheidungsansätze
HDI (rot): Highest Density Interval — kürzester Bereich mit gewünschter Posteriormasse. Optimal bei schiefen Verteilungen.

ETI (blau): Equal-Tailed Interval — symmetrische Quantile (z. B. 5 % / 95 %). Entspricht dem Vorgehen frequentistischer Konfidenzintervalle, aber mit bayesianischer Interpretation anhand der Posteriorverteilung.

ROPE (grün): Region of Practical Equivalence — Anteil des Posteriors innerhalb des «praktisch null»-Bereichs. Entscheidungsregel nach Kruschke: > 97.5 % → akzeptiere H₀; < 2.5 % → lehne ab; dazwischen → zurückhalten.
Weiterführende Literatur
Kruschke (2014) — HDI/ROPE-Entscheidungslogik
McElreath (2020) — 89%-CrI-Empfehlung
Makowski et al. (2019) — Full-ROPE-Entscheidungsregel
Lakens et al. (2018) — SESOI, Äquivalenzgrenzen