Bayesianische Regression — Interaktiv

Prior · Likelihood · Posterior · Kruschke-Diagramm · Prior Predictive · MCMC-Sampler

© Dr. Rainer Düsing · Interactive Tools by Claude

🎓 Schlafdauer → Stresserleben (PSS, z-Wert) · Schritt 1 von 7
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

Wahre Parameter

α · Intercept0.00
β · Slope1.00
σ · Residual SD1.00
n · Beobachtungen30

Priors & Hyperparameter

α ~ N(μ_α, σ_α)
β ~ N(μ_β, σ_β)
σ ~ HalfNormal(0, s_σ)
μ_α · Prior-Mittel α0.00
σ_α · Prior-SD α1.00
μ_β · Prior-Mittel β0.00
σ_β · Prior-SD β1.00
s_σ · HalfNormal Scale1.00
Likelihood-Funktion
Erläuterungen & Hintergrund
Was sind Priors? Priors kodieren unser Wissen vor dem Betrachten der Daten. Ein Prior N(0, 1) für β bedeutet: wir erwarten einen Slope nahe 0, Werte über ±2 sind unwahrscheinlich. Ein breiter Prior (σ groß) ist schwach-informativ.
Kruschke-Diagramm Visualisiert die generative Modellstruktur (Kruschke 2014). Pfeile zeigen stochastische Abhängigkeiten: Hyperpriors → Priors → Likelihood → Daten.
Prior Predictive Check (McElreath 2020, Kap. 4) Stichproben aus dem Prior werden simuliert und als Regressionsgeraden gezeigt. Ein guter Prior erzeugt plausible — nicht beliebige — Vorhersagen.
Prior → Posterior Update P(θ|y) ∝ P(y|θ) · P(θ). Die Posterior verbindet Prior-Wissen mit Dateninformation. Bei kleinem n dominiert der Prior; bei großem n die Likelihood.
Marginalverteilungen Zeigen wie sich jeder Parameter α, β, σ vom Prior zum Posterior verändert. Schmale Posterior → hohe Sicherheit durch Daten.
MCMC Metropolis-Hastings Samplet (β, σ) gemeinsam. σ wird auf Log-Skala vorgeschlagen (garantiert Positivität). Die Heatmap zeigt log P(β,σ|y). Trace-Plots zeigen Konvergenz; Histogramme die marginale Posterior nach Burn-in.
95% CI Mittelwert vs. 95% PPI neue Beobachtung Die Posterior Predictive Lines (50 Stichproben aus dem Posterior) blenden beim Aktivieren eines Bandes zurück — das Band ist deren formale Zusammenfassung.

95% CI Mittelwert (grün, schmal): Zeigt die Unsicherheit darüber, wo die Regressionsgerade liegt. Enthält nur die Parameterunsicherheit (σ_α und σ_β). McElreath: link().
Breite ∝ √(σ_α² + x²·σ_β²) — am schmalsten an x̄, weiter an den Enden.

95% PPI neue Beob. (blau, gestrichelt, breiter): Zeigt, wo ein neuer Datenpunkt y_neu fallen würde. Enthält zusätzlich die Residualstreuung σ. McElreath: sim().
Breite ∝ √(σ_α² + x²·σ_β² + σ²)

Schlüsselunterschied: Bei kleinem σ (wenig Rauschen) liegen CI und PPI eng beieinander. Bei großem σ ist das PPI viel breiter als das CI — denn selbst wenn wir die Linie perfekt kennen, streuen neue Beobachtungen um σ.

SCHRITT 1 VON 6

MODELLSTRUKTUR
Kruschke-Diagramm
Pfeile = stochastische Abhängigkeit ↓  ·  ■ Hyperpriors   ■ Priors   ■ Likelihood   ■ Daten
PRIOR PREDICTIVE CHECK
Was sagt das Modell vor den Daten? (McElreath-Ansatz)
60 Prior-Geraden
Jede Linie = α~N(μ_α,σ_α), β~N(μ_β,σ_β).
σ_α oder σ_β groß → viele plausible Welten.
PRIOR → POSTERIOR UPDATE
Wie die Daten den Prior aktualisieren
Prior Pred. Post. Pred. Post. Median Wahre Linie
Intercept α Prior Post.
—
Slope β Prior Post.
—
Residual SD σ Prior Post.
—
P(θ|y) ∝ P(y|θ)·P(θ)
Schmale Post.-Kurve = mehr Gewissheit.
Prior-Kurve verschiebt sich bei engem Prior.
MCMC — METROPOLIS-HASTINGS
Wie der Sampler den Posteriorraum erkundet
Heatmap = log P(β,σ|y)  ·  ● akzept.   ● abgel.   ✕ wahr   ● aktuell
Iter: 0 Akzeptanz: —
Trace-Plot β  — wahr
Histogramm β  (nach Burn-in)
Trace-Plot σ  — wahr
Histogramm σ  (nach Burn-in)
Metropolis-Schritt:
1. Schlage β*~N(β,0.15²), log σ*~N(log σ,0.12²)
2. r = P(β*,σ*|y) / P(β,σ|y)
3. Akzeptiere wenn U(0,1) < min(1,r)
🎓 Tutorial — Bayesianische Regression
Das Beispiel
Du analysierst Daten von n = 30 Psychologiestudierenden. Prädiktor x: mittlere Schlafdauer (z-transformiert). Outcome y: Stresserleben (PSS — Perceived Stress Scale, Cohen et al. 1983, z-transformiert).

Hypothese: mehr Schlaf → weniger Stress (β < 0). Der wahre Effekt beträgt β = −0.8.
Was du lernst
In 7 geführten Schritten erlebst du den vollständigen Bayes-Zyklus:

① Szenario — Parameter einrichten, Datensatz kennenlernen
② Prior Predictive Check — plausible Steigungen a priori
③ Prior → Posterior Update — Bayesianisches Lernen
④ Einfluss der Stichprobengröße n
⑤ Ausreißer-Einfluss unter Normal-Likelihood
⑥ Robustheit durch Student-t-Likelihood
⑦ MCMC-Sampler — gemeinsamer Posterior β × σ
Wie es funktioniert
Jeder Schritt erklärt dir was zu tun ist und was du beobachten sollst. Der aktive Schritt wird grün hervorgehoben und das relevante Panel wird umrahmt.

Mit ⚙ Werte übernehmen stellst du alle Slider automatisch auf die empfohlenen Werte ein. Du kannst auch selbst experimentieren — das Tutorial zeigt nur Anleitung, nicht mehr.
Das Schritte-Fenster erscheint als grüner Kasten unten rechts im Bildschirm — immer sichtbar, ohne Scrollen.
ℹ Bayesianische Regression — Hilfe
Was lerne ich hier?
Der vollständige Bayes-Zyklus für eine lineare Regression: Prior → Likelihood → Posterior. Du steuerst die wahren Parameter und die Prior-Annahmen — und siehst sofort, wie beides den Posterior formt.
Das Modell
α ~ N(μ_α, σ_α) · β ~ N(μ_β, σ_β) · σ ~ HalfNormal(s_σ)
y ~ N(α + β·x, σ) — die Likelihood

Linke Sidebar: wahre Parameter (simulieren die Daten) · Priors (deine Vorannahmen über α, β, σ)
Die fünf Panels
CI vs. Prädiktionsintervall
95% CI Mittelwert (grün, schmal): Unsicherheit über die Lage der Regressionsgerade — enthält nur Parameterunsicherheit.

95% PPI neue Beobachtung (gestrichelt, breiter): wo fällt ein neuer Datenpunkt? Enthält zusätzlich die Residualstreuung σ.

Bei kleinem σ liegen CI und PPI nah beieinander — bei großem σ ist das PPI deutlich breiter.
Gaussian vs. Ausreißer-robust
Gaussian: y ~ N(α + β·x, σ) — standard
Ausreißer: y ~ t(ν, α + β·x, σ) — schwerere Tails, robuster gegenüber einzelnen Extremwerten
Weiter → Bayesian PP Check: Posterior Predictive Checks für Modelldiagnose