Bayesianische Regression β€” Interaktiv

Prior Β· Likelihood Β· Posterior Β· Kruschke-Diagramm Β· Prior Predictive Β· MCMC-Sampler

Β© Dr. Rainer DΓΌsing Β· Interactive Tools by Claude

πŸŽ“ Schlafdauer β†’ Stresserleben (PSS, z-Wert) Β· Schritt 1 von 7
β‘  β‘‘ β‘’ β‘£ β‘€ β‘₯ ⑦

Wahre Parameter

Ξ± Β· Intercept0.00
Ξ² Β· Slope1.00
Οƒ Β· Residual SD1.00
n Β· Beobachtungen30

Priors & Hyperparameter

Ξ± ~ N(ΞΌ_Ξ±, Οƒ_Ξ±)
Ξ² ~ N(ΞΌ_Ξ², Οƒ_Ξ²)
Οƒ ~ HalfNormal(0, s_Οƒ)
ΞΌ_Ξ± Β· Prior-Mittel Ξ±0.00
Οƒ_Ξ± Β· Prior-SD Ξ±1.00
ΞΌ_Ξ² Β· Prior-Mittel Ξ²0.00
Οƒ_Ξ² Β· Prior-SD Ξ²1.00
s_Οƒ Β· HalfNormal Scale1.00
Likelihood-Funktion
ErlΓ€uterungen & Hintergrund
Was sind Priors? Priors kodieren unser Wissen vor dem Betrachten der Daten. Ein Prior N(0, 1) fΓΌr Ξ² bedeutet: wir erwarten einen Slope nahe 0, Werte ΓΌber Β±2 sind unwahrscheinlich. Ein breiter Prior (Οƒ groß) ist schwach-informativ.
Kruschke-Diagramm Visualisiert die generative Modellstruktur (Kruschke 2014). Pfeile zeigen stochastische AbhΓ€ngigkeiten: Hyperpriors β†’ Priors β†’ Likelihood β†’ Daten.
Prior Predictive Check (McElreath 2020, Kap. 4) Stichproben aus dem Prior werden simuliert und als Regressionsgeraden gezeigt. Ein guter Prior erzeugt plausible β€” nicht beliebige β€” Vorhersagen.
Prior β†’ Posterior Update P(ΞΈ|y) ∝ P(y|ΞΈ) Β· P(ΞΈ). Die Posterior verbindet Prior-Wissen mit Dateninformation. Bei kleinem n dominiert der Prior; bei großem n die Likelihood.
Marginalverteilungen Zeigen wie sich jeder Parameter Ξ±, Ξ², Οƒ vom Prior zum Posterior verΓ€ndert. Schmale Posterior β†’ hohe Sicherheit durch Daten.
MCMC Metropolis-Hastings Samplet (Ξ², Οƒ) gemeinsam. Οƒ wird auf Log-Skala vorgeschlagen (garantiert PositivitΓ€t). Die Heatmap zeigt log P(Ξ²,Οƒ|y). Trace-Plots zeigen Konvergenz; Histogramme die marginale Posterior nach Burn-in.
95% CI Mittelwert vs. 95% PPI neue Beobachtung Die Posterior Predictive Lines (50 Stichproben aus dem Posterior) blenden beim Aktivieren eines Bandes zurΓΌck β€” das Band ist deren formale Zusammenfassung.

95% CI Mittelwert (grΓΌn, schmal): Zeigt die Unsicherheit darΓΌber, wo die Regressionsgerade liegt. EnthΓ€lt nur die Parameterunsicherheit (Οƒ_Ξ± und Οƒ_Ξ²). McElreath: link().
Breite ∝ √(Οƒ_Ξ±Β² + xΒ²Β·Οƒ_Ξ²Β²) β€” am schmalsten an xΜ„, weiter an den Enden.

95% PPI neue Beob. (blau, gestrichelt, breiter): Zeigt, wo ein neuer Datenpunkt y_neu fallen wΓΌrde. EnthΓ€lt zusΓ€tzlich die Residualstreuung Οƒ. McElreath: sim().
Breite ∝ √(Οƒ_Ξ±Β² + xΒ²Β·Οƒ_Ξ²Β² + σ²)

SchlΓΌsselunterschied: Bei kleinem Οƒ (wenig Rauschen) liegen CI und PPI eng beieinander. Bei großem Οƒ ist das PPI viel breiter als das CI β€” denn selbst wenn wir die Linie perfekt kennen, streuen neue Beobachtungen um Οƒ.

SCHRITT 1 VON 6

MODELLSTRUKTUR
Kruschke-Diagramm
Pfeile = stochastische AbhΓ€ngigkeit ↓  Β·  β–  Hyperpriors   β–  Priors   β–  Likelihood   β–  Daten
PRIOR PREDICTIVE CHECK
Was sagt das Modell vor den Daten? (McElreath-Ansatz)
60 Prior-Geraden
Jede Linie = Ξ±~N(ΞΌ_Ξ±,Οƒ_Ξ±), Ξ²~N(ΞΌ_Ξ²,Οƒ_Ξ²).
Οƒ_Ξ± oder Οƒ_Ξ² groß β†’ viele plausible Welten.
PRIOR β†’ POSTERIOR UPDATE
Wie die Daten den Prior aktualisieren
Prior Pred. Post. Pred. Post. Median Wahre Linie
Intercept Ξ± Prior Post.
β€”
Slope Ξ² Prior Post.
β€”
Residual SD Οƒ Prior Post.
β€”
P(θ|y) ∝ P(y|θ)·P(θ)
Schmale Post.-Kurve = mehr Gewissheit.
Prior-Kurve verschiebt sich bei engem Prior.
MCMC β€” METROPOLIS-HASTINGS
Wie der Sampler den Posteriorraum erkundet
Heatmap = log P(Ξ²,Οƒ|y)  Β·  ● akzept.   ● abgel.   βœ• wahr   ● aktuell
Iter: 0 Akzeptanz: β€” Tempo:15/s
Trace-Plot Ξ²  β€” wahr
Histogramm Ξ²  (nach Burn-in)
Trace-Plot Οƒ  β€” wahr
Histogramm Οƒ  (nach Burn-in)
Metropolis-Schritt:
1. Schlage Ξ²*~N(Ξ²,0.15Β²), log Οƒ*~N(log Οƒ,0.12Β²)
2. r = P(Ξ²*,Οƒ*|y) / P(Ξ²,Οƒ|y)
3. Akzeptiere wenn U(0,1) < min(1,r)
πŸŽ“ Tutorial β€” Bayesianische Regression
Das Beispiel
Du analysierst Daten von n = 30 Psychologiestudierenden. PrΓ€diktor x: mittlere Schlafdauer (z-transformiert). Outcome y: Stresserleben (PSS β€” Perceived Stress Scale, Cohen et al. 1983, z-transformiert).

Hypothese: mehr Schlaf β†’ weniger Stress (Ξ² < 0). Der wahre Effekt betrΓ€gt Ξ² = βˆ’0.8.
Was du lernst
In 7 gefΓΌhrten Schritten erlebst du den vollstΓ€ndigen Bayes-Zyklus:

β‘  Szenario β€” Parameter einrichten, Datensatz kennenlernen
β‘‘ Prior Predictive Check β€” plausible Steigungen a priori
β‘’ Prior β†’ Posterior Update β€” Bayesianisches Lernen
β‘£ Einfluss der Stichprobengrâße n
β‘€ Ausreißer-Einfluss unter Normal-Likelihood
β‘₯ Robustheit durch Student-t-Likelihood
⑦ MCMC-Sampler β€” gemeinsamer Posterior Ξ² Γ— Οƒ
Wie es funktioniert
Jeder Schritt erklΓ€rt dir was zu tun ist und was du beobachten sollst. Der aktive Schritt wird grΓΌn hervorgehoben und das relevante Panel wird umrahmt.

Mit βš™ Werte ΓΌbernehmen stellst du alle Slider automatisch auf die empfohlenen Werte ein. Du kannst auch selbst experimentieren β€” das Tutorial zeigt nur Anleitung, nicht mehr.
Das Schritte-Fenster erscheint als grΓΌner Kasten unten rechts im Bildschirm β€” immer sichtbar, ohne Scrollen.
β„Ή Bayesianische Regression β€” Hilfe
Was lerne ich hier?
Der vollstΓ€ndige Bayes-Zyklus fΓΌr eine lineare Regression: Prior β†’ Likelihood β†’ Posterior. Du steuerst die wahren Parameter und die Prior-Annahmen β€” und siehst sofort, wie beides den Posterior formt.
Das Modell
Ξ± ~ N(ΞΌ_Ξ±, Οƒ_Ξ±) Β· Ξ² ~ N(ΞΌ_Ξ², Οƒ_Ξ²) Β· Οƒ ~ HalfNormal(s_Οƒ)
y ~ N(Ξ± + Ξ²Β·x, Οƒ) β€” die Likelihood

Linke Sidebar: wahre Parameter (simulieren die Daten) Β· Priors (deine Vorannahmen ΓΌber Ξ±, Ξ², Οƒ)
Die fΓΌnf Panels
CI vs. PrΓ€diktionsintervall
95% CI Mittelwert (grΓΌn, schmal): Unsicherheit ΓΌber die Lage der Regressionsgerade β€” enthΓ€lt nur Parameterunsicherheit.

95% PPI neue Beobachtung (gestrichelt, breiter): wo fΓ€llt ein neuer Datenpunkt? EnthΓ€lt zusΓ€tzlich die Residualstreuung Οƒ.

Bei kleinem Οƒ liegen CI und PPI nah beieinander β€” bei großem Οƒ ist das PPI deutlich breiter.
Gaussian vs. Ausreißer-robust
Gaussian: y ~ N(Ξ± + Ξ²Β·x, Οƒ) β€” standard
Ausreißer: y ~ t(Ξ½, Ξ± + Ξ²Β·x, Οƒ) β€” schwerere Tails, robuster gegenΓΌber einzelnen Extremwerten
Weiter β†’ Bayesian PP Check: Posterior Predictive Checks fΓΌr Modelldiagnose